Question

（本題滿分16分）

對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期.例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列.

（1）設(shè)數(shù)列滿足（），（不同時(shí)為0），求證：數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，并求數(shù)列的前2012項(xiàng)的和；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；

②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列滿足（），，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：又，

所以是周期為6的周期數(shù)列，………………2分

.

所以.………4分

解：（2）當(dāng)時(shí)，，又得.………6分

當(dāng)時(shí),

，

即或.…………6分

①由有，則為等差數(shù)列，即，

由于對(duì)任意的都有，所以不是周期數(shù)列.…………8分

②由有，數(shù)列為等比數(shù)列，即，

存在使得對(duì)任意都成立，

即當(dāng)時(shí)是周期為2的周期數(shù)列.…………10分

（3）假設(shè)存在，滿足題設(shè).

于是又即，

所以是周期為6的周期數(shù)列，的前6項(xiàng)分別為，…12分

則（），……14分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，為使恒成立，只要，即可，

綜上，假設(shè)存在，滿足題設(shè)，，.……16分

【解析】略