Question

（本小題滿分12分）

已知數列{a_n}滿足a₁＝0，a₂＝2，且對任意m、n∈N^*都有

a_2m－1＋a_2n－1＝2a_m＋n－1＋2(m－n)²

（Ⅰ）求a₃，a₅；

（Ⅱ）設b_n＝a_2n＋1－a_2n－1(n∈N^*)，證明：{b_n}是等差數列；

（Ⅲ）設c_n＝(a_n+1－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求數列{c_n}的前n項和S_n.

Answer 1

本小題主要考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.

解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a₃＝2a₂－a₁＋2＝6

       再令m＝3,n＝1，可得a₅＝2a₃－a₁＋8＝20………………………………2分

(2)當n∈N ^*時，由已知(以n＋2代替m)可得

a_2n＋3＋a_2n－1＝2a_2n＋1＋8

于是[a_2(n＋1)＋1－a_2(n＋1)－1]－(a_2n＋1－a_2n－1)＝8 

即  b_n＋1－b_n＝8

所以{b_n}是公差為8的等差數列………………………………………………5分

(3)由(1)(2)解答可知{b_n}是首項為b₁＝a₃－a₁＝6,公差為8的等差數列

則b_n＝8n－2，即a_2n+=1－a_2n－1＝8n－2

另由已知(令m＝1)可得

a_n＝-(n－1)².

那么a_n＋1－a_n＝－2n＋1 

           ＝－2n＋1

           ＝2n

于是c_n＝2nq^n－1.

當q＝1時，S_n＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)

當q≠1時，S_n＝2·q⁰＋4·q¹＋6·q²＋……＋2n·q^n－1.

兩邊同乘以q，可得

          qS_n＝2·q¹＋4·q²＋6·q³＋……＋2n·qⁿ.

上述兩式相減得

       (1－q)S_n＝2(1＋q＋q²＋……＋q^n－1)－2nqⁿ 

               ＝2·－2nqⁿ

               ＝2·

所以S_n＝2·

綜上所述，S_n＝…………………………12分