Question

【題目】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.

（1）若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；

（2）若，，當變化時，求證：與的“平衡”數(shù)對相同；

（3）若，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.當時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“可平衡”函數(shù),詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)利用兩角和差的正弦公式求解即可.

(2)根據(jù)題意可知,對于任意實數(shù),,再列式利用恒成立問題求解即可.

(3)根據(jù)“平衡數(shù)對”的定義將用關(guān)于的三角函數(shù)表達,再利用三角函數(shù)的取值范圍求解即可.

（1）若,則,

,

要使得為“可平衡”函數(shù),需使故對于任意實數(shù)均成立,只有,

此時,,故存在,所以是“可平衡”函數(shù).

（2）及的定義域均為,

根據(jù)題意可知,對于任意實數(shù),,

即,即對于任意實數(shù)恒成立,

只有,,故函數(shù)的“平衡”數(shù)對為,

對于函數(shù)而言,,

所以,

,,

即,故,只有,所以函數(shù)的“平衡”數(shù)對為,

綜上可得函數(shù)與的“平衡”數(shù)對相同.

（3）,所以,

,所以,

由于,所以,故,,

,

由于,所以時,,

,所以.