Question

【題目】已知函數f（x）=emx+x2﹣mx（m∈R）．
（1）當m=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若m＜0，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+（e+1）y=0垂直．
（i）當x＞0時，試比較f（x）與f（﹣x）的大小；
（ii）若對任意x1 ， x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時，f′（x）=ex+2x﹣1=（ex﹣1）+2x，

若x＞0，則ex﹣1＞0，f′（x）＞0，

若x＜0，則ex﹣1＜0，f′（x）＜0，

綜上，f（x）在（0，+∞）遞增，在（﹣∞，0）遞減；

（2）解：∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+（e+1）y=0垂直，

且f′（x）=m（emx﹣1）+2x，∴f′（1）=mem+2﹣m=e+1，

故mem﹣m=e﹣1，令h（m）=mem﹣m﹣e﹣1，

則h′（m）=em+mem﹣1，∵m＞0，∴h′（m）＞0，

∵h（1）=0，∴m＞0，方程mem﹣m=e﹣1有唯一解m=1，

（i）當x＞0時，

令g（x）=f（x）﹣f（﹣x）=ex﹣e﹣x﹣2x，

則g′（x）=ex+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，

∴g（x）在x＞0時遞增，即g（x）＞g（0）=0，

故x＞0時，f（x）＞f（﹣x），

（ii）若對任意x1，x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

由（1）得：x1，x2必一正一負，

不妨設x1＜0＜x2，由（i）得：f（x1）﹣f（x2）＞f（﹣x2），

而由（1）得：m=1時，函數f（x）在（﹣∞，0）遞減，

∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．

【解析】（1）將m=1代入f（x），求出f（x）的導數，從而求出函數的單調區間；（2）求出f（x）的導數，得到mem﹣m=e﹣1，令h（m）=mem﹣m﹣e﹣1，求出h（m）的導數，得到m的值；（i）根據做差法判斷即可；（ii）問題轉化為f（x1）﹣f（x2）＞f（﹣x2），根據函數的單調性判斷即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．