Question

（2012•孝感模擬）對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心．”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，求
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對(duì)稱中心為

（1，1）

．
（2）若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g（

1

2011

）+g（

2

2011

）+g（

3

2011

）+g（

4

2011

）+…+g（

2010

2011

）=

2010

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對(duì)稱中心．
（2）令h（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，m（x）=

2

2x-1

，則g（x）=h（x）+m（x）．利用對(duì)稱性求得h（

1

2011

）+h（

2

2011

）+h（

3

2011

）+h（

4

2011

）+…+h（

2010

2011

）=2010，求得m（

1

2011

）+m（

2

2011

）+m（

3

2011

）+m（

4

2011

）+…+m（

2010

2011

）=0，從而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對(duì)稱中心為（1，1），
故答案為 （1，1）．
（2）若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

2

2x-1

，令h（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，m（x）=

2

2x-1

，則g（x）=h（x）+m（x）．
 則h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=

1

2

，故h（x）的對(duì)稱中心為（

1

2

，1）．
設(shè)點(diǎn)p（x₀，y₀）為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于（

1

2

，1）的對(duì)稱點(diǎn)P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，
∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（

1

2011

）+h（

2

2011

）+h（

3

2011

）+h（

4

2011

）+…+h（

2010

2011

）
=[h（

1

2011

）+h（

2010

2011

）]+[h（

2

2011

）+h（

2009

2011

）]+[h（

3

2011

）+h（

2008

2011

）]+…+[h（

1005

2011

）+h（

1006

2011

）]=1005×2=2010．
由于函數(shù)m（x）=

2

2x-1

的對(duì)稱中心為（

1

2

，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（

1

2011

）+m（

2

2011

）+m（

3

2011

）+m（

4

2011

）+…+m（

2010

2011

）
=[m（

1

2011

）+m（

2010

2011

）]+[m（

2

2011

）+m（

2009

2011

）]+[m（

3

2011

）+m（

2008

2011

）]+…+[m（

1005

2011

）+m（

1006

2011

）]=1005×0=0．
∴g（

1

2011

）+g（

2

2011

）+g（

3

2011

）+g（

4

2011

）+…+g（

2010

2011

）=h（

1

2011

）+h（

2

2011

）+h（

3

2011

）+h（

4

2011

）+…+h（

2010

2011

）
+m（

1

2011

）+m（

2

2011

）+m（

3

2011

）+m（

4

2011

）+…+m（

2010

2011

）
=2010+0=2010，
故答案為2010．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題．