Question

【題目】已知函數（），其中為自然對數的底數.

（1）討論函數的單調性及極值；

（2）若不等式在內恒成立，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得導函數的解析式，分類討論可得：當時， 在內單調遞增，沒有極值；當時， 在區間內單調遞減，在區間內單調遞增， 的極小值為，無極大值.

（2）分類討論：當時， 明顯成立；

當時，由（1），知在內單調遞增，此時利用反證法可證得結論；

當時，構造新函數，結合函數的單調性即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）由題意得.

當，即時， ， 在內單調遞增，沒有極值.

當，即時，

令，得，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

故當時， 取得極小值 ，無極大值.

綜上所述，當時， 在內單調遞增，沒有極值；

當時， 在區間內單調遞減，在區間內單調遞增， 的極小值為，無極大值.

（2）當時， 成立.

當時，由（1），知在內單調遞增，

令為和中較小的數，

所以，且，

則， .

所以 ，

與恒成立矛盾，應舍去.

當時， ，

即，

所以.

令，

則.

令，得，

令，得，

故在區間內單調遞增，

在區間內單調遞減.

故，

即當時， .

所以 .

所以.

而，

所以.