Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側面。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關系，并予以證明。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ），證明見解析。

解析:

（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC側面A₁ABB₁=A₁B，得

AD⊥平面A₁BC，又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC。

因為三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，則AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC。

又AA₁AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，

又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC。

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁—BC—A的平面角，即

于是在中，在中，，

由，得，又，所以。

解法2：由（1）知，以點為坐標原點，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，

則，

于是，。

設平面的一個法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統方法一般來說要先作垂直，進而得直角三角形。若用向量方法，關鍵在求法向量。