Question

【題目】某地區在一次考試后，從全體考生中隨機抽取44名，獲取他們本次考試的數學成績(x)和物理成績(y)，繪制成如圖散點圖：

根據散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，但圖中有兩個異常點A，B．經調查得知，A考生由于重感冒導致物理考試發揮失常，B考生因故未能參加物理考試．為了使分析結果更科學準確，剔除這兩組數據后，對剩下的數據作處理，得到一些統計的值：其中xi，yi分別表示這42名同學的數學成績、物理成績，i＝1，2，…，42，y與x的相關系數r＝0.82．

（1）若不剔除A，B兩名考生的數據，用44組數據作回歸分析，設此時y與x的相關系數為r0．試判斷r0與r的大小關系，并說明理由；

（2）求y關于x的線性回歸方程（系數精確到0.01），并估計如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數學成績為125分），物理成績是多少？（精確到個位）；

（3）從概率統計規律看，本次考試該地區的物理成績ξ服從正態分布，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本方差s2作為σ2的估計值．試求該地區5000名考生中，物理成績位于區間（62.8，85.2）的人數Z的數學期望．

附：①回歸方程中：

②若，則

③11.2

Answer 1

【答案】（1）r0＜r，理由詳見解析；（2），81分；（3）3413．

【解析】

（1）結合散點圖，可得出結論；

（2）利用題中給的相關系數，最小二乘法寫出回歸直線方程，再令x＝125，即可算出答案；

（3）算出，s2，得到ξ～N（74，125），11.2，所以P（63.8＜ξ＜85.2）＝因為，即可算出期望．

（1）r0＜r．

理由如下：由圖可知，y與x成正相關關系，

①異常點 A，B 會降低變量之間的線性相關程度．

②44個數據點與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關系數更小．

③42個數據點與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關系數更大．

④42個數據點更貼近其回歸直線l．

⑤44個數據點與其回歸直線更離散．

（2）由題中數據可得：

，

所以，

又因為，所以，

，所以，

將代入，得，

所以估計B同學的物理成績約為81分.

（3），

所以ξ～N（74，125），又因為11.2

所以，

因為，所以，

即該地區本次考試物理成績位于區間（62.8，85.2）的數學期望為3413．