Question

（2013•文昌模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)
構(gòu)成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁．
（ⅰ）求證：直線A₁B過x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）求△OA₁B面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c，根據(jù)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．求得a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）（i）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則可利用韋達(dá)定理求得y₁y₂和y₁+y₂的表達(dá)式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求得關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)，利用TB和TA₁的斜率相等求得t．
（ii）由（i）中判別式△＞0求得m的范圍，表示出三角形OA₁BD面積，利用m的范圍，求得m的最大值，繼而求得三角形面積的范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距c=1．
因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
所以

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）（i）設(shè)直線l：x=my+4與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0．
記A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1+y2=

-24m

3m2+4

，y1y2=

36

3m2+4

．
由A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁，得A₁（x₁，-y₁），
根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為T（t，0），得kTB=kTA1，即

y2

x2-t

=

y1

t-x1

．
所以t=

x2y1+y2x1

y1+y2

=

(4+my2)y1+(4+my1)y2

y1+y2

=4+

2my1y2

y1+y2

=4-3=1即定點(diǎn)T（1，0）．

（ii）由（i）中判別式△＞0，解得|m|＞2．可知直線A₁B過定點(diǎn)T（1，0）．
所以S△OA1B=

1

2

|OT||y₂-（-y₁）|=

1

2

|y2+y1|，
得S△OA1B=

1

2

|

24m

4+3m2

|=

4

|m|+ 4 3|m|

，
令t=|m|記φ(t)=t+

4

3t

，得φ′(t)=1-

4

3t2

，當(dāng)t＞2時(shí)，φ′（t）＞0．
φ(t)=t+

4

3t

在（2，+∞）上為增函數(shù)．所以|m|+

4

3|m|

＞2+

2

3

=

8

3

，
得0＜S△OA1B＜4×

3

8

=

3

2

．故△OA1B的面積取值范圍是(0，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力．