Question

已知函數，．
(1)若，求函數的極值；
(2)當時恒成立，求的取值范圍；
(3)若，求證：．

Answer 1

(1) - (2)  (3)見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
(1) 函數，．因為，求解函數的導數得到極值；
(2)當時恒成立，只要構造新函數，利用導數判定單調性得到證明。
(3) 由（2）知當時有即
所以
然后利用放縮法的思想得到證明。．
解：（1）極大值為，極小值為…………………….4分
（2）設
         
注意到
若即，，使

	遞減，
	遞減，
	遞減，

這與題目要求矛盾.
若即， 當時，進而在上遞增，從而，于是上遞增，所以，故在上遞增，所以恒成立，滿足題目要求.
綜上所述，的取值范圍是………………………………………………..9分
（3）由（2）知當時有即
所以
從而

證畢……………………14分