Question

  (本小題12分)

設，對于有窮數列(…，), 令為…，中的最大值，稱數列為的“創新數列”. 數列中不相等項的個數稱為的“創新階數”. 例如數列的創新數列為2,2,3,7,7，創新階數為3.

考察自然數…，的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列.

（Ⅰ）若, 寫出創新數列為3,4,4,5,5的所有數列；

(Ⅱ) 是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，創新數列為3,4,4,5,5的數列有兩個，即：

（1）數列3，4，1，5，2；  ………………………………  3分

（2）數列3，4，2，5，1.         ………………………  5分

        （Ⅱ）解：設數列的創新數列為，

因為為中的最大值. 所以.

由題意知：為中最大值，為中最大值，

       所以，且.                       

若為等差數列，設其公差為d，

則，且     ……………………… ……  7分

        當d=0時，為常數列，又，所以數列為，

此時數列是首項為m的任意一個符合條件的數列；………  8分

        當d=1時，因為，所以數列為，

此時數列是；           ………………………  9分

        當時，因為，又，所以，

這與矛盾，所以此時不存在，

即不存在使得它的創新數列

為的等差數列.               ………………………  11分

綜上，當數列為首項為m的任意符合條件的數列或為數列時，

它的創新數列為等差數列.  …………………………