Question

【題目】圓周上有個(gè)點(diǎn)，用弦兩兩連結(jié)起來(lái)，其中任何3條弦都不在圓內(nèi)共點(diǎn).現(xiàn)將由此形成的互補(bǔ)重疊的圓內(nèi)區(qū)域的個(gè)數(shù)記為.

（1）.直接畫(huà)圖求出，，，，；

（2）.確定的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】

（1）由下圖可得，，，，

由前4個(gè)數(shù)值我們會(huì)猜測(cè)，但否定了這個(gè)猜測(cè).

（2）一般地，我們將所求區(qū)域分成兩部分，一部分是個(gè)弓形，另一部分是多邊形內(nèi)被對(duì)角線分成的區(qū)域．為敘述方便，我們將這些區(qū)域稱為內(nèi)區(qū)，而對(duì)角線交點(diǎn)（下圖中）稱為結(jié)點(diǎn).

考慮的情況（否則無(wú)結(jié)點(diǎn)，失去一般性）設(shè)多邊形的內(nèi)區(qū)中有個(gè)三角形，個(gè)四邊形，，個(gè)邊形，則邊形的內(nèi)區(qū)有（個(gè)）.

從而，.

可見(jiàn)關(guān)鍵是求出來(lái)，分3步進(jìn)行，

（i）先計(jì)算各內(nèi)區(qū)頂點(diǎn)總和的表達(dá)式.首先.

由于多邊形內(nèi)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)與多邊形的4個(gè)頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（如上圖中，與，，，對(duì)應(yīng)），故結(jié)點(diǎn)共有個(gè)，且每一內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著4個(gè)區(qū)域.而多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)可引出條對(duì)角線，都是個(gè)三角形的公共點(diǎn)，因此，又可表示為，

即. ①

（ii）再計(jì)算各內(nèi)區(qū)內(nèi)角總和的表達(dá)式.首先

由于每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)都含有一個(gè)周角，總和為.而邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)上各角之和為，又有

對(duì)比的兩種表達(dá)式得

. ②

（iii）求出，進(jìn)而得出.

由①-②得

.

從而，.

這個(gè)式子也可以表示為

. ③

若約定，則的通項(xiàng)公式可用上述任一表達(dá)式.由于，

所以，③與④的前5項(xiàng)相同，時(shí)，猜想就不對(duì)了.