Question

設(shè)直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：
（1）當(dāng)直線垂直y軸時(shí)，θ=0或π；
（2）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，直線的傾斜角為120°；
（3）M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；
（4）存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上．
其中正確的是

（2）（4）

（寫出所有正確的代號(hào)）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線垂直y軸時(shí)，斜率

-cosθ

sinθ

=0，可得θ 的值，從而得到（1）不正確．
（2）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，求出直線的斜率，從而求出傾斜角為120°，故（2）正確．
（3）驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，不會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)，
可得（3）不正確．
（4）存在定點(diǎn)P（0，2 ）不在M中的任一條直線上，可得（4）正確．

解答：解：直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），即xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0，
（1）當(dāng)直線垂直y軸時(shí)，斜率

-cosθ

sinθ

=0，即cosθ=0，可得 θ=

π

2

，或 θ=

3π

2

，故（1）不正確．
（2）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，直線的斜率等于

-cosθ

sinθ

=-

3

，故直線的傾斜角為120°，故（2）正確．
（3）驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，
不會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)，故（3）不正確．
（4）存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上，觀察知點(diǎn)P（0，2）即符合條件，故（4）正確．
故答案為 （2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，依據(jù)直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，本題易因?yàn)橛^察不知直線系所具有的幾何特征而導(dǎo)致后兩個(gè)命題的真假無法判斷，對(duì)問題進(jìn)行深入分析是發(fā)現(xiàn)其意義的捷徑，屬于中檔題．