Question

【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)=|xlnx﹣ax2|,a.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若g(x)在區(qū)間(1,e)有極小值,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) x∈(0,e)時(shí), f(x)單調(diào)遞增;x∈(e,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. (2) a∈.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得單調(diào)性；

(2)根據(jù)(1) 可得:，結(jié)合a，可得g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).通過兩次求導(dǎo)后，討論可得結(jié)果.

(1)函數(shù)f(x),x∈(0,+∞).

f′(x).

∴x∈(0,e)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈(e,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

(2)由(1)可得:.

g(x)=|xlnx﹣ax2|,a.x∈(1,e).

∴|a|=a,

∴g(x)=ax2﹣xlnx.a.x∈(1,e).

g′(x)=2ax﹣lnx﹣1=h(x),

h′(x)=2a.

①時(shí),1e.此時(shí)x時(shí),函數(shù)h(x)取得極小值,h()=lnln(2a)<0.

h(1)=2a﹣1<0,h(e)=2ae﹣2>0.

∴存在x0∈(,e),使得g′(x0)=2ax0﹣lnx0﹣1=0,

此時(shí),函數(shù)g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,e)上單調(diào)遞增.

即此時(shí)g(x)在區(qū)間(1,e)有極小值,a的取值范圍為a∈.

②a時(shí),01.h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,h(1)=2a﹣1≥0,

∴g′(x)>0,∴函數(shù)g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,無極值,舍去.