Question

（2012•閘北區一模）設{a_n}和{b_n}均為無窮數列．
（1）若{a_n}和{b_n}均為等比數列，試研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比數列？請證明你的結論；若是等比數列，請寫出其前n項和公式．
（2）請類比（1），針對等差數列提出相應的真命題（不必證明），并寫出相應的等差數列的前n項和公式（用首項與公差表示）．

Answer 1

分析：（1）討論兩數列的公比，根據等比數列的性質可判定{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比數列，然后利用等比數列的求和公式解之即可；
（2）利用等比中的乘類比到等差中的和，討論公差是否為0，從而求出相應的等差數列的前n項和公式．

解答：解：（1）①設c_n=a_n+b_n，
則cn2 -cn+1cn-1= (a1q1n-1+b1q2n-1)   2-（a1

q

n 1

+b1

q

n 2

）（a1

q

n-2 1

+b1

q

n-2 2

）
=a₁b₁

q

n-2 1

q

n-1 2

（q₁-q₂）2
當q₁=q₂時，對任意的n∈N，n≥2，

c

2 n

=c_n+1c_n-1恒成立，
故{a_n+b_n}為等比數列；        （3分）
∴S_n=

n(a1+b1)    ，q1=q2=1 (a1+b1)(1- q n 1 )   1-q1 ，q1=q2≠1

（1分）
當q₁≠q₂時，
對任意的n∈N，n≥2，

c

2 n

≠c_n+1c_n-1，{a_n+b_n}不是等比數列．（2分）
②設d_n=a_nb_n，
對于任意n∈N^*，

dn+1

dn

=

an+1bn+1

anbn

=q1q2，{a_nb_n}是等比數列． （3分）
S_n=

n(a1b1)    ，q1q2=1 a1b1(1- q n 1 q n 2 )   1-q1q2 ，q1q2≠1

  （1分）
（2）設{a_n}，{b_n}均為等差數列，公差分別為d₁，d₂，則：
①{a_n+b_n}為等差數列；S_n=（a₁+b₁）n+

n(n-1)

2

（d₁+d₂）（2分）
②當d₁與d₂至少有一個為0時，{a_nb_n}是等差數列，（1分）
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+

n(n-1)

2

a₁d₂；（1分）
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+

n(n-1)

2

b₁d₁．（1分）
③當d₁與d₂都不為0時，{a_nb_n}一定不是等差數列．（1分）

點評：本題主要考查了類比推理，以及等比數列與等差數列的判定，同時考查了計算能力和分析求解的能力，屬于基礎題．