Question

設S為實數集R的非空子集，若對任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數}為封閉集；②若S為封閉集，則{0}⊆S；③封閉集一定是無限集；④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M也是封閉集．其中的真命題是    ．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：①根據封閉集的定義驗證集合為整數}不是封閉集；
②通過舉出反例，若S為封閉集，不一定{0}⊆S；
③封閉集不一定是無限集；
④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封閉集．
解答：解：∵若對任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，則稱S為封閉集，
對于①設x=a+，y=c+，a，b，c，d為整數，xy=ac+++，若bd=1，則xy∉S，
故為整數}不是封閉集；故錯；
②若S=N^*，則S為封閉集，但{0}?S；故錯；
③封閉集不一定是無限集如S={0}是封閉集，是有限集，故錯；
④若A、B均為封閉集，則滿足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封閉集．
綜上可知④正確，
故答案為：④
點評：本題考查康托的集合論，本題解題的關鍵是正確理解封閉集的意義，能夠辨別一個集合是不是封閉集．