Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=

a 2n+1 + (-1)n

an

（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數列？若存在，求出所有滿足條件的λ的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）寫出數列{a_n}中與987相鄰的后一項（不需要過程）

Answer 1

（I）a₄=

a 23 +1

a2

=

9+1

2

=5
a₅=

a 24 -1

a3

=

25-1

3

=8
（II）假設存在實數λ，使得數列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數列，則
2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂）與數列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數列矛盾
故不存在實數λ，使數列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差數列
（III）a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13，猜想a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2）
∴數列{a_n}中與987相鄰的后一項為1597．