Question

已知函數f（x）=|x-a|+|x+2|（a為常數，且a∈R）．
（I）若函數f（x）的最小值為2，求a的值；
（II）當a=2時，解不等式f（x）≤6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f （x）=|x-a|+|x+2|≥|a-x+x+2|=|a+2|，由|a+2|=2，能求出a的值．
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|+|x+2|，由此利用零點分段討論法能求出不等式f （x）≤6的解集．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=|x-a|+|x+2|
=|a-x|+|x+2|
≥|a-x+x+2|=|a+2|，
由|a+2|=2，
解得a=0或a=-4．…（5分）
（Ⅱ）當a=2時，
f （x）=|x-2|+|x+2|．
當x＜-2時，不等式為2-x-x-2≤6，其解為-3≤x＜-2；
當-2≤x＜2時，不等式為2-x+x+2≤6恒成立，其解為-2≤x＜2；
當x≥2時，不等式為x-2+x+2≤6，其解為2≤x≤3；
所以不等式f （x）≤6的解集為[-3，3]． …（10分）

點評：本題考查函數的最小值的求法和應用，考查不等式的解法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．