Question

已知函數f(x)=2x+

1

2x

．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數．

Answer 1

分析：（I） 要判斷函數的奇偶性，只要檢驗f（-x）與f（x）的關系即可判斷
（II）要證明函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數，只要證明0＜x₁＜x₂，則時，f（x₁）-f（x₂）＜0即可判斷

解答：證明：（I）∵?x∈R
∴-x∈R，
∵f(-x)=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x=f(x)．
故f（x）為偶函數．
（II）設0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性及單調性的定義的簡單應用，屬于基礎試題