Question

已知A，B是圓O：x²+y²=1上的兩個點，P是AB線段上的動點，當△AOB的面積最大時，則

AO

?

AP

-

AP

2的最大值是（　　）

• A、-1
• B、0
• C、

  1

  8

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由題意知當∠AOB=

π

2

時，S取最大值

1

2

，此時

OA

⊥

OB

，建立坐標系可得A、B、P的坐標，可得

AO

•

AP

-

AP

2為關于x的二次函數，由二次函數的最值可得．

解答：解：由題意知：△AOB的面積S=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠AOB
=

1

2

×1×1×sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB，
當∠AOB=

π

2

時，S取最大值

1

2

，此時

OA

⊥

OB

，
如圖所示，不妨取A（1，0），B（0，1），設P（x，1-x）
∴

AO

•

AP

-

AP

2=

AP

•（

AO

-

AP

）=

AP

•

PO

=（x-1，1-x）•（-x，x-1）
=-x（x-1）+（1-x）（x-1）
=（x-1）（1-2x）=-2x²+3x-1，x∈[0，1]
當x=-

3

2×(-2)

=

3

4

時，上式取最大值

1

8

故選：C

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，涉及三角形的面積公式和二次函數的最值，屬中檔題．