Question

（本小題滿分12分）

    已知f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝－x²＋2x＋2.

 (1)求f(x)的解析式；

 (2)畫出f(x)的圖象，并指出f(x)的單調區間．

 

Answer 1

【答案】

　(1) f(x)＝.

(2)其增區間為[－1,0)及(0,1]，減區間為(－∞，－1]及[1，＋∞)．

【解析】本試題主要是考查了函數的奇偶性和單調性的綜合運用

（1）先根據已知條件，將函數設x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)²－2x＋2＝－x²－2x＋2，得到解析式。

（2）畫出函數的 圖像。，結合圖像的餓到函數的單調區間。

　(1)設x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)²－2x＋2＝－x²－2x＋2，

又∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x²＋2x－2，

又f(0)＝0，∴f(x)＝.

(2)先畫出y＝f(x)(x＞0)的圖象，利用奇函數的對稱性可得到相應y＝f(x)(x＜0)的圖象，其圖象如圖所示：由圖可知，其增區間為[－1,0)及(0,1]，減區間為(－∞，－1]及[1，＋∞)．