Question

【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元），如下圖所示：

（1）將去年的消費(fèi)金額超過 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”，現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人，求至少有 1 位消費(fèi)者，其去年的消費(fèi)金額超過 4000 元的概率；

（2）針對(duì)這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制，詳情如下表：

會(huì)員等級(jí)	消費(fèi)金額
普通會(huì)員	2000
銀卡會(huì)員	2700
金卡會(huì)員	3200

預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員. 消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí)，需-次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案 1：按分層抽樣從普通會(huì)員， 銀卡會(huì)員， 金卡會(huì)員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元； 銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元； 金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.

方案 2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2，則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金； 若摸到紅球的總數(shù)為 3，則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加 2 次摸獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立） .

以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪-種方案投資較少？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）預(yù)計(jì)方案2投資較少.詳見解析

【解析】

（1）由題意，隨機(jī)變量的可能值為“”，得，即可求解。

（2）根據(jù)方案1求得按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額元，又由方案2：得到的可能值為“”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額，比較得到答案。

（1）設(shè)隨機(jī)抽取的2人中，去年的消費(fèi)金額超過4000元的消費(fèi)者有人，

則的可能值為“0，1，2”，

∴ .

（或者.

（2）方案1：按分層抽樣從普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”，則“幸運(yùn)之星”中的普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員的人數(shù)分別為：

，，，

∴按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為：元，

方案2：設(shè)表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金，

則的可能值為“0，200，300”，

∵摸到紅球的概率：，∴ ，

，，

∴的分布列為

	0	200	300

∴元，

∴按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為：

元，

∵方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額多于方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額，

∴預(yù)計(jì)方案2投資較少.