Question

設, ，.

(1)若, 且對任意實數均有成立, 求的表達式；

(2)在(1)的條件下, 若不是[-2, 2]上的單調函數, 求實數的取值范圍；

(3)設且, 當為偶函數時, 求證: .

Answer 1

解析:由f(0)=1得c=1

(1)由f(-2)=0得4a-2b+1=0, 又由f(x)≥0對x∈R恒成立, 知a＞0且△=b²-4a c≤0

  即b²-2b+1=(b-1)²≤0 ∴b=1, a=從而f(x)=x²+x+1∴g(x)=

(2)由(1)知h(x)=x²+(k+1) x+1, 其圖象的對稱軸為x= -2(k+1) ,

再由h(x)在 [-2, 2]上不是單調函數, 故得-2＜-2(k+1)＜2

解得-2＜k＜0

(3)當f(x)為偶函數時, f(-x)=f(x), ∴b=0, ∴f(x)=ax²+1, a＞0

  故f(x)在(0, +∞)上為增函數, 從而, g(x)在(0, +∞)上為減函數,

  又m＞0, n＜0, m+n＞0 ∴ m＞-n＞0, 從而g(m)＜g(-n)

且g(-n)= -f(-n)= -f(n)= - g(n)  故得g(m)< -g(n), 因此, g(m)+g(n)＜0