Question

【題目】已知數列{an}的各項均為正，Sn為數列{an}的前n項和，an2+2an＝4Sn+3．

（1）求{an}的通項公式；

（2）設bn，求數列{bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）2．

【解析】

（1）根據題意求出首項，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得該數列為等差數列即可求得通項公式；

（2）利用錯位相減法進行數列求和.

（1）∵an2+2an＝4Sn+3，

∴a12+2a1＝4S1+3，即，

解得：a1＝3或a1＝﹣1（舍），

又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+3，

∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，

整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），

又∵數列{an}的各項均為正，

∴an+1﹣an＝2，

∴數列{an}是首項為3、公差為2的等差數列，

∴數列{an}的通項公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；

（2）由（1）可知bn，

記數列{bn}的前n項和為Tn，則

Tn＝35（2n+1），

Tn＝35…+（2n﹣1）（2n+1），

錯位相減得：Tn＝1+2（）﹣（2n+1）

＝12

，

∴Tn（）＝2．