Question

【題目】已知直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）當m變化時，求點P（3，1）到直線l的距離的最大值；
（3）若直線l分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．

化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解得 ，

則直線l經過定點Q（﹣1，﹣2）

（2）解：當m變化時，PQ⊥直線l時，

點P（3，1）到直線l的距離的最大= =5

（3）解：由于直線l經過定點Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，

因此可設直線l的方程為y+2=k（x+1），

可得與x軸、y軸的負半軸交于A（ ，0），B（0，k﹣2）兩點，

＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．

∴∴S△OAB= × ×（2﹣k）= ≥2+ =4，當且僅當k=﹣2時取等號．

此時直線l的方程為：y+2=﹣2（x+1），化為：2x+y+4=0

【解析】（1）直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解出即可得出直線l經過定點．（2）當m變化時，PQ⊥直線l時，點P（3，1）到直線l的距離的最大．（3）由于直線l經過定點Q（﹣1，﹣2）．直線l的斜率k存在且k≠0，因此可設直線l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負半軸交于A（ ，0），B（0，k﹣2）兩點， ＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB= × ×（2﹣k）= ，利用基本不等式的性質即可得出．