Question

(本小題滿分14分)

如圖，在三棱錐中，側面與側面均為等邊三角形，，

為中點．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）二面角的余弦值為

【解析】（Ⅰ）由題設，連結，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，

故，………2分

且，從而．所以為直角三角形，

．……4分

又．所以平面．……6分

（Ⅱ）解法一：

取中點，連結，由（Ⅰ）知，得．為二面角的平面角．……9分

由得平面．……11分

所以，又，故 …13分

所以二面角的余弦值為…14分

解法二：

以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系．設，則．

的中點，．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值為．