Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數），且y=

OM

•

ON

（O為坐標原點）．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象如何變化而得到？

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的運算和向量的坐標求得函數的解析式．
（2）利用兩角和公式對函數解析式化簡整理，根據x的范圍確定2x+

π

6

的范圍進而利用正弦函數的性質求得函數的最大值，求得a．
（3）根據（2）可知f（x）=sin（x+

π

6

）+2，然后利用三角函數圖象平移的法則求得答案．

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因為0≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1
（3）①將y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位得到函數f(x)=sin(x+

π

6

)的圖象；
②將函數f(x)=sin(x+

π

6

)的圖象保持縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

得到函數f(x)=sin(2x+

π

6

)的圖象；
③將函數f(x)=sin(2x+

π

6

)的圖象保持橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍得到函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象；
④將函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象向上平移2個單位，得到函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的圖象

點評：本題主要考查了三角函數的最值，平面向量的數量積的運算，三角函數圖象的變換．考查了運用所學知識解決問題的能力．