Question

已知函數y=f(x)是定義在R上的函數，對于任意，函數y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函數，在［1，4］上是二次函數，且在x=2時，函數取得最小值，最小值為－5.

(1)證明：f(1)+f(4)=0;

(2)試求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

Answer 1

(1)證明：∵y=f(x)是以5為周期的周期函數，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.

(2)解：當x∈［1,4］時，由題意，可設f(x)=a(x－2)²－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)²－5+a(4－2)²－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)²－5(1≤x≤4).