Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）若直線與曲線至多只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，的中點為，求點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式把曲線和直線的方程化為直角坐標(biāo)方程，并聯(lián)立直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式即可求出實數(shù)的取值范圍；

根據(jù)題意，設(shè)，，的中點為，直線和曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，由兩個交點，可得判別式，求出取值范圍，利用韋達(dá)定理和點在直線上表示出點坐標(biāo)，消去參數(shù)即可求出，的中點的軌跡方程.

（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去參數(shù)可得，曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由題意知，直線的極坐標(biāo)方程可化為，

因為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，

聯(lián)立方程，可得，

因為直線與曲線至多只有一個公共點，

所以判別式，解得或，

所以所求實數(shù)的取值范圍為或.

（2）設(shè)，，的中點為，

聯(lián)立方程，可得，

所以判別式，解得，

由韋達(dá)定理可得，，

因為點在直線上，所以，

所以可得，即為點的軌跡方程.