已知直線
過定點
，動點
滿足
，動點的軌跡為
.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直線
與交于
兩點，以為切點分別作的切線，兩切線交于點
.
①求證：
；②若直線
與交于
兩點，求四邊形
面積的最大值.
(1)
(2) 根據直線斜率互為負倒數來得到證明，當且僅當
時，四邊形
面積的取到最小值
。
解析試題分析：（I）由題意知
，設
化簡得 3分
（Ⅱ）①設
，
，
由
消去
，得
，顯然
.
所以
，
由
，得
，所以
，
所以，以
為切點的切線的斜率為
，
所以，以為切點的切線方程為
，又
，
所以，以為切點的切線方程為
……（1）
同理，以
為切點的切線方程為
……（2）
（2）-（1）并據
得點
的橫坐標
，
代入（1）易得點的縱坐標
，所以點的坐標為
當
時，顯然
當
時，
，從而 8分
②由已知，顯然直線
的斜率不為0，由①知，所以
，
則直線
的方程為
，
設設
，
，
由
消去，得
，顯然
，
所以
，
.
又
因為，所以
，
所以，
，
當且僅當時，四邊形面積的取到最小值 13分
考點：直線與拋物線的位置關系
點評：解決的關鍵是借助于向量的模來表示得到軌跡方程，并聯立方程組來得到弦長公式，進而得到面積的表示，屬于中檔題。
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，拋物線
的頂點為坐標原點
，焦點
在
軸上，準線
與圓
相切．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知直線
和拋物線交于點
，命題P：“若直線過定點
，則
”，請判斷命題P的真假，并證明。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，線段
的兩個端點
、
分別分別在
軸、
軸上滑動，
，點
是上一點，且
，點隨線段的運動而變化.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設
為點的軌跡的左焦點，
為右焦點，過的直線交的軌跡于
兩點，求
的最大值，并求此時直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F1，F2是離心率為
的橢圓
C：
(a＞b＞0)的左、右焦點，直線
：x＝－
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1 : 3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點．
(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經過點F2，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
雙曲線
與橢圓
有相同的焦點
,且該雙曲線
的漸近線方程為
．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2） 過該雙曲線的右焦點
作斜率不為零的直線與此雙曲線的左，右兩支分別交于點
、
，
設
，當
軸上的點
滿足
時，求點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線
，在拋物線上任意畫一個點
，度量點的坐標
，如圖．
（Ⅰ）拖動點，發現當
時，
，試求拋物線
的方程；
（Ⅱ）設拋物線的頂點為
，焦點為
，構造直線
交拋物線于不同兩點、
，構造直線
、
分別交準線于
、
兩點，構造直線
、
．經觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有
.請你證明這一結論．
（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變為其它“定點
”，其余條件不變，發現“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的方程為
，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足
,求點
的坐標；
（2）設直線
交橢圓于
、
兩點，交直線
于點
.若
，證明：為
的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點
、
滿足
,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.
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經過拋物線
的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點.
，求點A的坐標；
，求線段AB的長.