Question

設點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A（0，1），B（0，-1），且

MN

=λ

AB

．
（1）求動點C的軌跡E；
（2）若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q，且滿足

OP

•

OQ

=0，求實數b的取值．

Answer 1

分析：（1）設點C（x，y ），則點M  （

x

3

，

y

3

 ），由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標等于

x

3

，又N在AB的中垂線上，故縱坐標等于 0．由于 NA=NC，可得

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

，化簡可得軌跡方程，從而得到軌跡．
（2）把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x²+6bx+3b²-3=0，由

OP

•

OQ

=0 可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，把根與系數的關系代入求出b值．

解答：解：（1）設點C（x，y ），則 點M （

0+0+x

3

，

1-1+y

3

 ），即 點M  （

x

3

，

y

3

 ），
由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標等于

x

3

，又N在AB的中垂線上，故縱坐標等于 0．
由于N是不等邊△ABC的外心，∴NA=NC，∴

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

．
化簡可得 

x2

3

+y2= 1，xy≠0，故動點C的軌跡E是焦點在x軸上的標準位置的一個橢圓，去掉其頂點．
（2）把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x²+6bx+3b²-3=0．由題意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，x₁+x₂=

-3b

2

，x₁•x₂=

3b2-3

4

．
由

OP

•

OQ

=0 可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•

3b2-3

4

+b•（

-3b

2

 ）+b²=0，解得 b²=

3

2

，∴b=±

6

2

．

點評：本題考查點軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關系，判斷軌跡E的形狀，是階梯的易錯點．