Question

（本小題滿分12分）

在正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點.

（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小； 

Answer 1

本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力。

解法一：（1）連結AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連結OK

因為M是棱AA’的中點，點O是BD’的中點

所以AM

所以MO

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’  

因為AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’

所以AK⊥BD’

所以MO⊥BD’

又因為OM是異面直線AA’和BD’都相交

故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線…………6分

（2）取BB’中點N，連結MN，則MN⊥平面BCC’B’

過點N作NH⊥BC’于H，連結MH

則由三垂線定理得BC’⊥MH

從而,∠MHN為二面角M－BC’－B’的平面角

MN＝1,NH＝Bnsin45°＝

在Rt△MNH中，tan∠MHN＝

故二面角M－BC’－B’的大小為arctan2…………………………………………12分

解法二：

以點D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D－xyz

則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)

(1)因為點M是棱AA’的中點,點O是BD’的中點

所以M(1,0, ),O(,,)

,＝(0,0,1),＝(－1,－1,1)

＝0, ＋0＝0

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’

又因為OM與異面直線AA’和BD’都相交

故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………………………6分

(2)設平面BMC'的一個法向量為＝(x,y,z)  

＝(0,－1,), ＝(－1,0,1)

  即

取z＝2,則x＝2,y＝1，從而＝(2,1,2)

取平面BC'B'的一個法向量為＝(0,1,0)

cos

由圖可知，二面角M－BC'－B'的平面角為銳角 

故二面角M－BC'－B'的大小為arccos………………………………………………12分