Question

【題目】如圖，已知橢圓C：（）的上頂點為，離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點A作圓（圓在橢圓C內）的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點(B，D不同于點A)，當r變化時，試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點，

【解析】

（1）根據橢圓的頂點和離心率建立方程組求解橢圓方程；

（2）圓M過A的切線方程可設為l：，代入橢圓，解出B，D坐標，根據直線與圓相切結合韋達定理得斜率的關系，表示出直線BD的方程即可求得過定點.

解：（1）依題意可得：）

（2）圓M過A的切線方程可設為l：，代入橢圓C的方程得：

，

可得；同理可得

由圓M與l相切得：

由韋達定理得：

所以直線BD的斜率……

直線BD的方程為：

化簡為：，即

所以，當變化時，直線BD總過定點