Question

已知函數的圖象恒過定點P，若冪函數f（x）=x^a的圖象也過點P．
（1）求實數a的值；
（2）試用單調性定義證明：函數f（x）在區間（0，+∞）內是減函數．

Answer 1

解：（1）由已知P（，），
∴f（）=，
∴（）^a=，
∴a=-，
（2）f（x）=x
設0＜x₁＜x₂，則有
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，＞0，
所以f（x₁）-f（x）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數．
分析：（1）先由冪函數f（x）=x^a的圖象經過點P（，），求出a；
（2）先在定義域上取值，再作差、變形，變形徹底后根據式子的特點，討論判斷符號、下結論．
點評：本題主要考查了利用待定系數求解冪函數的函數解析式，考查了函數單調性的證明方法：定義法，關鍵是變形一定徹底，直到能明顯的判斷出符號為止．屬于基礎試題．