Question

已知集合A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}．
（1）當a=4時，求A∩B；
（2）若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用函數的值域化簡A，利用一元二次不等式的解化簡B，最后利用交集的定義求出A∩B即可；
（2）題中條件：“A⊆B”說明集合A是集合B的子集，即不等式：|（x-a）（x+a+3）＞0的解集是B的子集，對a進行分類討論，結合端點的不等關系列出不等式求解即可．

解答：解：（1）A=[-8，-4]（2分）
當a=4時，B={x|x²+3x-28＞0}={x|x＜-7或x＞4}，（4分）
∴A∩B=[-8，-7）（5分）
（2）B={x|（x-a）（x+a+3）＞0}
①當a=-

3

2

時，B={x|x∈R，x≠-

3

2

}，∴A⊆B恒成立；（8分）
②當a＜-

3

2

時，B={x|x＜a或x＞-a-3}
∵A⊆B，∴a＞-4或-a-3＜-8
解得a＞-4或a＞5（舍去）
所以-4＜a＜-

3

2

（11分）
③當a＞-

3

2

時，B={x|x＜-a-3或x＞a}
∵A⊆B，∴-a-3＞-4或a＜-8（舍去）
解得-

3

2

＜a＜1（13分）
綜上，當A⊆B，實數a的取值范圍是（-4，1）．（14分）

點評：本小題主要考查函數的值域、函數的定義域、不等式的解法、集合的包含關系判斷及應用、交集及其運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．