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給定正整數 n 和正數 M，對于滿足條件 $數學公式$ ≤M 的所有等差數列 a₁，a₂，a₃，…．，試求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值．

解：設公差為d，a_n+1=a，
則S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a為首項，d為公差的等差數列的前（n+1）項和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+ $\text{[math]}$ d．
同除以（n+1），得 $\text{[math]}$ ．
則M≥ $\text{[math]}$ =
$\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$
因此|S|≤ $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$ ，
且當 a= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，d= $\text{[math]}$ 時，
S=（n+1）〔 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 〕
=（n+1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$
由于此時4a=3nd，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以，S的最大值為 $\text{[math]}$ （n+1） $\text{[math]}$ ．
分析：設公差為d，a_n+1=a，由S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+ $\text{[math]}$ d得， $\text{[math]}$ ，則有M≥ $\text{[math]}$ ，下面由基本不等式的性質可解．
點評：本題為數列和不等式的結合，正確變形時解決問題的關鍵，屬中檔題．

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