Question

已知：函數f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）①證明：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
②求函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離；
（2）設函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①利用（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³可證；
②令f′（x）=3x²-12x+3=0，設其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂），利用韋達定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，進而可求x₂-x₁，y₁-y₂，故可求函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離
（2）求導函數，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，所以x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根，構造函數h（x）=x³-3x²-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減，從而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范圍．

解答：（1）①證明：∵（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³
∴a³-b³=（a-b）³+3a²b-3ab²=（a-b）[（a-b）²+3ab]=（a-b）（a²+ab+b²）
②解：令f′（x）=3x²-12x+3=0，設其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1
∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

設兩個極值點所對應的圖象上兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則y1-y2=

x

3 1

-6

x

2 1

+3x1+t-(

x

3 2

-6

x

2 2

+3x2+t)
=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2-6(x1+x2)+3]=12

3

∴函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離為

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

111

（2）解：f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有三個不同的極值點
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根；
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，則h′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減
∵h（x）有三個零點
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的單調性，考查函數的極值，解題的關鍵是將函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，轉化為x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根．