Question

一個正方體形狀的無蓋鐵桶ABCD-A₁B₁C₁D₁的容積是V，里面裝有體積為

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V的水，放在水平的地面上（如圖所示）．現以頂點A為支撐點，將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要從頂點A₁處流出時，棱AA₁與地面所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的容積是V，里面裝有體積為

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V的水，若以頂點A為支撐點，將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要從頂點A₁處流出時，由等體積法，可得此時液面即為平面A₁FH，建立空間坐標系，分別求出棱AA₁的方向向量和平面A₁FH的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．

解答：解：設初如狀態下，液面與四條側棱分別交于E，F，G，H四點，如下圖示：
根據等體積法，以頂點A為支撐點，將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要從頂點A₁處流出時，
液面依然經過F，H點，則棱AA₁與地面所成角θ即為棱AA₁與平面A₁FH的夾角
以A為坐標原點，AD，AB，AA₁方向分別為x，y，z軸正方向，設正方體棱長為3，
則

AA1

=（0，0，3），

A1F

=（3，0，-1），

A1H

=（0，3，-1）
設平面A₁FH的法向量

m

=（x，y，z），
則

3x-z=0 3y-z=0

則

m

=（1，1，3）
則sinθ=|

AA1 • m

|AA1 |•| m |

|=

3 11

11

則cosθ=

1-sin2θ

=

22

11

故答案為：

22

11

點評：本題考查的知識點是直線與平面的夾角，其中根據等體積法，得到滿足條件時，液面依然經過F，H點，進而將問題轉化為棱AA₁與平面A₁FH的夾角，是解答本題的關鍵．