Question

已知直線y=x-1和橢圓（m＞1）交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點(diǎn)F，則實(shí)數(shù)m的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出F的坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過橢圓的焦點(diǎn)F，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：由題意，=1，∴F（-1，0）
直線y=x-1代入橢圓，并整理，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=
∵以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點(diǎn)F，∴=0
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0
∴++1+=0
∴m²-4m+1=0
∴m=
∵m＞1
∴m=
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．