Question

【題目】O為坐標原點，直線l與圓x2+y2=2相切．
（1）若直線l分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點，求△AOB面積的最小值及面積取得最小值時的直線l的方程．
（2）設直線l交橢圓 =1于P、Q兩點，M為PQ的中點，求|OM|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線l的方程為 =1（a，b＞0），

由直線和圓x2+y2=4相切，可得 = ，

即有 = ≥ ，即ab≥4，

當且僅當a=b=2時，取得等號．

則△AOB面積S= ab的最小值為2；

此時直線的方程為x+y﹣2=0

（2）解：若直線的斜率不存在，設為x=t，

由直線和圓相切可得，t=﹣ 或 ．

代入橢圓方程可得，y=± ，

可得中點M坐標為（﹣ ，0）或（ ，0），|OM|= ；

設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得，

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0，

即為m2＜3+6k2，

由直線和圓相切，可得 = ，

即為m2=2+2k2，由2+2k2＜3+6k2，可得k∈R，

設P，Q的坐標為（x1，y1），（x2，y2），

可得x1+x2=﹣ ，中點M的坐標為（﹣ ， ），

即有|OM|= =

設1+2k2=t（t≥1），則|OM|= =

= ，由t≥1可得t=2取得最大值 ，

t=1時，取得最小值 ．

故|OM|的范圍是[ ， ]

【解析】（1）設出直線方程，由直線和圓相切的條件：d=r，結合基本不等式，即可得到面積的最小值和此時直線的方程；（2）討論直線的斜率不存在和存在，設出直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合判別式大于0，化簡整理即可得到所求范圍．