Question

已知圓O：x²+y²=1，圓O₁：（x-acosθ）²+（y-bsinθ）²=1（a、b為常數，θ∈R）對于以下命題，其中正確的有    ．
①a=b=1時，兩圓上任意兩點距離d∈[0，1]
②a=4，b=3時，兩圓上任意兩點距離d∈[1，6]
③a=b=1時，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點
④a=4，b=3時，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點．

Answer 1

【答案】分析：由已知條件知兩圓中一個是原點為圓心，半徑是1的圓，另一個是圓為（acosθ，bsinθ）半徑是1的圓，由此根據四個命題的題面，進行它們的正誤，找出正確命題
解答：解：①a=b=1時，兩圓上任意兩點距離d∈[0，1]，此命題不正確，當a=b=1時，可求得兩圓心之間的距離是1，且動圓的圓心在定圓上，故兩圓相交，由此知，兩圓上任意兩點之間的距離最小值是0，最大值是兩圓的連心線與兩圓的交點中距離較遠的兩點，它們的距離是3，故兩圓上任意兩點距離d∈[0，1]，不正確；
②a=4，b=3時，兩圓上任意兩點距離d∈[1，6]，此命題正確，因為a=4，b=3時可求得兩圓距離是，其范圍是[3，4]，又兩圓半徑是1，故最遠兩點間距離是6，最近兩間距離是1，即兩圓上任意兩點距離d∈[1，6]；
③a=b=1時，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點，此命題正確，由于動圓過定圓的圓心，故過定圓圓心的任意一條直線都與兩圓有公共點，由此知a=b=1時，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點正確；
④a=4，b=3時，對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點．此命題不正確，由②的證明知，兩圓沒有公共點，故不可能找到一條直線當對于任意θ，存在定直線l與兩圓都有公共點
綜上知②③是正確命題
故答案為②③
點評：本題考查圓方程的應用，解答本題，關鍵是掌握圓方程的幾何意義，由圓的方程找出圓的圓心與圓的半徑來，且能根據這此量判斷出兩圓的位置關系，本題綜合性強，比較抽象，判斷時可以借助圖象輔助理解判斷．