Question

對數列，規定為數列的一階差分數列，其中。對正整數k，規定為的k階差分數列，其中。

（1）       若數列首項，且滿足，求數列的通項公式；

（2）       對（1）中的數列，是否存在等差數列，使得對一切正整數都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，請說明理由；

（3）       令，設，若恒成立，求最小的正整數M的值。

 

Answer 1

解析：（1）而可得 

，，…………………… 2分

是首項為，公差為的等差數列，

， () …………………… 4分

（2）即：

而又    

  所以 …………………… 6分

=故可得  

存在等差數列,使

對一切正整數都成立。…………………… 8分

（3）由（2）知       ……… ①   

……… ②     …………………… 10分

①-②得：

                …………………… 12分

，遞增 ，且。

滿足條件的最小的正整數M的值為6.       …………………… 14分