Question

已知函數f（x）=

lnx+a

x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區間（0，e²]上有公共點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設各項為正的數列{a_n}滿足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求證：an≤2n-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，求導數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值；
（Ⅱ）分類討論：①當e^1-a＜e²，即a＞-1時，f（x）在（0，e^1-a）上是增函數，在（e^1-a，e²）上是減函數，可得函數的最值，利用函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區間（0，e²]上有公共點，可得實數a的取值范圍；
②當e^1-a≥e²，即a≤-1時，f（x）在區間（0，e²]上是增函數，可得函數的最值，利用函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區間（0，e²]上有公共點，從而可得結論；
（Ⅲ）先證明lnx≤x-1，從而可證a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1，由此可證結論．

解答：（Ⅰ）解：函數的定義域為（0，+∞），求導數f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，
令f′（x）=0得x=e^1-a，
當x∈（0，e^1-a）時，f′（x）＞0，∴f（x）是增函數；
當x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是減函數；
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1，無極小值．
（Ⅱ）解：①當e^1-a＜e²，即a＞-1時，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e^1-a）上是增函數，在（e^1-a，e²）上是減函數，
∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…（7分）
∵若函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區間（0，e²]上有公共點，
∴e^a-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②當e^1-a≥e²，即a≤-1時，f（x）在區間（0，e²]上是增函數，
∴f（x）在區間（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

∴原問題等價于

2+a

e2

≥1
∴a≥e²-2
∵a≤-1，∴無解
綜上，實數a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅲ）證明：令a=1，由（Ⅰ）知，

lnx+1

x

≤1(x＞0)，∴lnx≤x-1，
∵a₁=1，假設ak≥1(k∈N*)，則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故an≥1(n∈N*)
從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1
∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n，
∴an≤2n-1．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數而得單調性與極值，考查分類討論的數學思想，考查不等式的證明，屬于中檔題．