Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為相圓上一點(diǎn)，與軸交于，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn).求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（Ⅰ）由題意得，通過平面幾何的知識(shí)，可以得到，根據(jù)，離心率為，結(jié)合，這樣可以求出，，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）直線與橢圓方程聯(lián)立，可以得到一個(gè)一元二次方程，設(shè)、，利用根與系數(shù)關(guān)系可以求出的坐標(biāo)，以及的長(zhǎng)度，求出直線的方程，求出的坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)度表達(dá)式，求出 平方的表達(dá)式，用換元法、配方法，最后求出的最大值.

（I）連接，由題意得，所以為的中位線，

又因?yàn)?/span>，所以，且

又，，得，，

故所求橢圓方程為.

（II）聯(lián)立，可得.

設(shè)、，則，，

所以為

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，，

設(shè)，令，則

，

因此當(dāng)，即時(shí)取得最大值.