Question

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為

3

5

，焦點坐標分別為F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用橢圓C的長軸長與短軸長之比為

3

5

，焦點坐標分別為F₁（-2，0），F₂（2，0），確定幾何量之間的關系，從而可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），可得直線方程，令x=0，從而可求M，N的坐標，根據P點在橢圓上，即可求得

OM

•

ON

的值．

解答：解：（Ⅰ） 設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

a

b

=

3

5

，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以橢圓C的標準方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），直線PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，PB：y=

y0

x0-3

(x-3)…（7分）
令x=0，得：M(0，

3y0

x0+3

)，N(0，

-3y0

x0+3

)…（9分）
∵P點在橢圓上，∴

x02

9

+

y02

5

=1
所以：

OM

•

ON

=

-9y02

x02-9

=

5(x02-9)

x02-9

=5，…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線方程，求橢圓的標準方程，利用待定系數法是我們常用的方法．