Question

把已知正整數n表示為若干個正整數（至少3個，且可以相等）之和的形式，若這幾個正整數可以按一定順序構成等差數列，則稱這些數為n的一個等差分拆．將這些正整數的不同排列視為相同的分拆．如：（1，4，7）與（7，4，1）為12的相同等差分拆．問正整數30的不同等差分拆有

19

個．

Answer 1

分析：由于30=1×30=2×15=3×10=5×6．因此可以考慮以下等差分拆．
①以10為等差中項的三個整數的分拆共有以下10個；②30等差分拆為4個數的共有以下2個；③30等差分拆為5個數的共有以下3個；
④30等差分拆為6個數的只有以下1個；⑤30等差分拆為10個數的只有以下1個；⑥30等差分拆為15個數的只有以下1個；⑦30等差分拆為30個數的只有以下1個．．

解答：解：∵30=1×30=2×15=3×10=5×6．∴可以考慮以下等差分拆．
①以10為等差中項的三個整數的分拆共有以下10個：30=1+10+19=2+10+18=…=10+10+10；
②30等差分拆為4個數的共有以下2個：6，7，8，9；3，6，9，12；
③30等差分拆為5個數的共有以下3個：6，6，6，6，6；4，5，6，7，8；2，4，6，8，10；
④30等差分拆為6個數的只有以下1個：5，5，5，5，5，5；
⑤30等差分拆為10個數的只有以下1個：3，3，…，3（共10個3）；
⑥30等差分拆為15個數的只有以下1個：2，2，…，2（共15個2）；
⑦30等差分拆為30個數的只有以下1個：1，1，…，1（共30個1）．
綜上可知：正整數30的不同等差分拆共有19個．
故答案為19．

點評：把30=1×30=2×15=3×10=5×6正確分解質因數及掌握分類討論思想方法、等差數列的定義是解題的關鍵．