Question

（本小題滿10分）注意：第（3）小題平行班學生不必做，特保班學生必須做。對于函數，若存在x₀∈R，使成立，則稱x₀為的不動點。已知函數（a≠0）。
（1）當時，求函數的不動點；
（2）若對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
（3）（特保班做）　在（2）的條件下，若圖象上A、B兩點的橫坐標是函數的不動點，且A、B兩點關于點對稱，求的的最小值。

Answer 1

（1）3和－1；
（2）
（3）b的最小值為－。

（1）由題得：，因為為不動點，
因此有，即
所以或，即3和－1為的不動點。
（2）因為恒有兩個不動點，
∴　，
即　（※）恒有兩個不等實數根，
由題設恒成立，
即對于任意b∈R，有恒成立，
所以有　，　
∴　　。
（3）由（※）式得，由題得E是A、B的中點，且
∴　，則E（），
∴　　－，　　∴　b=－，　
又由（2）知　0＜a＜1，　　令
∴　在上是單調遞減，在上是單調遞增
∴　當時，　　
即　當時，　b取得最小值，其最小值為－。