Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T．

（I）求橢圓C的方程和點T的坐標；

（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線l′與直線l交于點P，試判斷是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）+=1，T（1，）； （Ⅱ）見解析.

【解析】

（I）由橢圓的離心率為得到 b2=a2，根據直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T得到△=0，解得a2=4，b2=3，即得橢圓的方程. （Ⅱ）先計算出|PT|2=t2，|PA|==|﹣x1|，|PB|=|﹣x2|，再計算=為定值．

（I）由橢圓的離心率e===，則b2=a2，

則，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①

由△=0，解得：a2=4，b2=3，

所以橢圓的標準方程為：+=1；所以=，則T（1，），

（Ⅱ）設直線l′的方程為y=x+t，由，解得P的坐標為（1﹣，+），

所以|PT|2=t2，

設設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，

則x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，

y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，

同理|PB|=|﹣x2|，

|PA||PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，

|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，

所以=為定值．