Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）構成的：對于任意的，且u、υ∈（-1，1），都有|f（u）-f（υ）|≤3|u-υ|．
（1）判斷函數f1(x)=

1+x2

是否在集合A中？并說明理由；
（2）設函數f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，試求2a+b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（2）=6，且對于滿足（2）的每個實數a，存在最小的實數m，使得當x∈[m，2]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示m的表達式．

Answer 1

分析：（1）先取u、υ∈（-1，1）時，檢驗|f₁（u）-f₁（υ）|≤3|u-υ|是否成立，根據已知給出判斷即可
（2）由f（x）∈A可得，|u-υ|≥|f（u）-f（υ）|=|（u-υ）（au+aυ+b）|，即|au+aυ+b|≤3 成立，設t=u+υ，結合u，υ∈（-1，1）可得t的范圍，可求
（3）由f（2）=6可得，2a+b=3由（2）中2a+b的范圍，可求a的范圍，而當x∈[m，2]時，結合二次函數的性質可求x∈R時f（x）_min，通過與函數的最小值與端點6，與-6的大小可的m與方程的根的關系，從而可求a與m之間的關系

解答：解：（1）f₁（x）∈A，任取u、υ∈（-1，1），且u≠υ，
則|f1(u)-f1(υ)|=|

1+u2

-

1+υ2

|=

|u2-υ2|

| 1+u2 + 1+υ2 |

=

|u+υ|×|u-υ|

| 1+u2 + 1+υ2 |

因為|u|＜

1+u2

，|υ|＜

1+υ2

，且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以

|u+υ|

| 1+u2 + 1+υ2 |

＜1
所以|f₁（u）-f₁（υ）|＜|u-υ|＜3|u-υ|，亦即f₁（x）∈A
（2）因為f（x）=ax²+bx屬于集合A，所以，任取u、υ∈（-1，1）且u≠υ，
則3|u-υ|≥|f（u）-f（υ）|=|（u-υ）（au+aυ+b）|，
也即|au+aυ+b|≤3  ①
設t=u+υ，則上式化為|at+b|≤3②
因為u，υ∈（-1，1），所以-2＜t＜2
①式對任意的u，υ∈（-1，1）恒成立，即②式對t∈（-2，2）恒成立可以證明|2a|+|b|≤3，所以|2a+b|≤3，
即2a+b∈[-3，3]
（3）由f（2）=6可知2a+b=3
又由（2）可知-3≤2a+b≤3，所以0≤a≤

3

2

，
當a=0時，b=3，f（x）=3x在[m，2]上為單調遞增函數，f（m）=3m，f（2）=4
令3m=-6，可得m=-2
當a＞0時，f(x)=ax2+(3-2a)x=a(x+

3-2a

2a

)2-

(3-2a)2

4a

．
此時，-

3-2a

2a

=1-

3

2a

≤0，且當x∈R時f（x）的最小值為f(-

3-2a

2a

)=-

(3-2a)2

4a

若-

(3-2a)2

4a

≥-6，即

9-6 2

2

≤a≤

3

2

時，m為方程f（x）=6的較小根，所以m=-

3

a

若-

(3-2a)2

4a

＜-6，即0＜a＜

9-6 2

2

時，由于f（x）在[-

3-2a

2a

，+∞)上單調遞增，
所以m為方程f（x）=-6的較大根，所以m=

2a-3+ 4a2-36a+9

2a

，
綜上可知，m=

-2(a=0) 2a-3+ 4a2-36a+9 2a (0＜a＜ 9-6 2 2 ) - 3 a ( 9-6 2 2 ≤a≤ 3 2 )

點評：本題以集合的關系為載體主要考查了函數的單調性于函數的值域的求解，而函數的恒成立的問題的解決常轉化為求解函數的最值．