Question

【題目】已知圓，為坐標原點，動點在圓外，過點作圓的切線，設切點為.

（1）若點運動到處，求此時切線的方程；

（2）求滿足的點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或； （2）.

【解析】

試題分析：（1）當過點P的切線斜率存在時，由點斜式設出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，可得切線方程．當切線斜率不存在時，要檢驗是否滿足條件，從而得出結論． （2）設點，由圓的切線的性質知，為直角三角形，可得，；由，化簡可得點P的軌跡方程為.

試題解析：

解: 把圓C的方程化為標準方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，

∴圓心為C（－1,2），半徑r＝2.

（1）當l的斜率不存在時，此時l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件．

當l的斜率存在時，設斜率為k，得l的方程為y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，

則＝2，解得k＝.

∴l的方程為y－3＝（x－1），

即3x＋4y－15＝0.

綜上，滿足條件的切線l的方程為或.

（2）設P（x，y），則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，

|PO|2＝x2＋y2，

∵|PM|＝|PO|.

∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，

整理，得2x－4y＋1＝0，

∴點P的軌跡方程為.